Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.И. Сухинов, В.Н. Зуев

ЭЛЕКТРОННЫЙ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу

Уравнения математической физики

Глава 2

(Лекция 3)

ТАГАНРОГ 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 3. 27

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.. 27

§ 3.1. Уравнение колебаний. 27

§ 3.2. Уравнение диффузии. 28

§ 2.3. Стационарное уравнение. 30

§ 3.4. Уравнения гидродинамики. 31

§ 3.5. Уравнение Максвелла. 32

§ 3.6. Уравнение Шредингера. 34

§3.7. Задачи. 35

ЛЕКЦИЯ 3

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Рассматриваются наиболее распространённые (характерные) физические процессы, сводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка.

§ 3.1. Уравнение колебаний

Многие задачи по прикладной механике и физике (колебания струн и стержней, мембран и замкнутых объемов, электромагнитные колебания) описываются одним и тем же дифференциальным уравнением второго порядка. Это уравнение в теории уравнений математической физики называется уравнением колебаний. В общем, его записывают следующим образом:

(3.1)

или

Здесь – неизвестная, искомая функция, – пространственная координата, – время, неотрицательные функции , , – коэффициенты уравнения, определяющие свойства среды, в которой протекает колебательный процесс, – свободное слагаемое (функция), определяющее интенсивность внешнего воздействия. Уравнение (3.1) является уравнением гиперболического типа.

Вывод уравнения (3.1) рассмотрим на примере уравнения малых поперечных колебаний струны . Пусть в положении равновесия струна совпадает с осью 0х. Будем рассматривать малые поперечные колебания струны, совершаемые ею только в одной плоскости . Это означает, что смещение струны меняется в одной плоскости, а вектор смещения в любой

момент времени перпендикулярен оси Ох.

Рис. 3.1

Таким образом, функция – это величина отклонения струны от положения равновесия в точке в момент времени . Вектор – сила натяжения струны направлен по касательной к профилю струны и может быть представлен в виде

= = ,

где модуль вектора натяжения, а - угол наклона касательной к оси Ох. Будем считать, что в некоторый момент времени струна занимает положение, изображённое на рис.3.1. На элемент струны действуют силы натяжения в точке и в точке и внешняя сила . Сумма этих сил, согласно принципу Даламбера, уравновешивается силой инерции, равной произведению массы этого элемента на его ускорение. Спроектируем все силы на ось 0u, тогда сила натяжения будет равна

Учитывая, что внешняя сила равна и сила инерции равна , на основании вышесказанного, получаем

или

Переходя в последнем равенстве к пределу при , получаем уравнение малых поперечных колебаний струны

При и , что означает однородность среды, будем иметь уравнение с постоянными коэффициентами

где и . Если внешнее воздействие отсутствует, то есть , то колебания называются свободными, а в противном случае – вынужденными. Полученное уравнение называют также одномерным волновым уравнением. В трёхмерном случае, используя оператор Даламбера

□_a ,

где оператор

называется оператором Лапласа, волновое уравнение можно записать в виде

□_a.

Здесь ; .

Аналогично можно получить уравнение и для малых продольных колебаний стержня

где S = – площадь поперечного сечения стержня, E = – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга). Продольные колебания означают такие колебания, при которых смещение происходит вдоль оси стержня.

К уравнениям колебаний относится и уравнение малых поперечных колебаний тонкой мембраны

. (3.2)

Здесь и , поэтому это двумерное уравнение.

Все рассмотренные в этом параграфе уравнения являются уравнениями гиперболического типа.

§ 3.2. Уравнение диффузии

Процесс диффузии частиц в среде , а также процесс распространения тепла в среде описываются уравнением

параболического типа, которое называют уравнением диффузии и в

общем случае представляют в виде

. (3.3)

Величины, входящие в уравнение диффузии, имеют тот же смысл, что и в уравнении колебаний. Вывод уравнения рассмотрим на примере распространения тепла в изотропной среде. Пусть – температура среды в точке в момент времени , а – температура в той же точке среды, но в момент времени . Рассмотрим часть среды объёма , ограниченного поверхностью с вектором внешней нормали . Количество тепла, которое поступает через поверхность в объём за время , согласно закону Фурье, равно

где – коэффициент теплопроводности вещества, численно равный количеству тепла (в калориях), которое протекает за одну секунду через пластинку толщиной 1 см и площадью поперечного сечения 1 см² при разности температур на противоположных гранях пластинки, равной 1°С. С помощью формулы Остроградского - Гаусса получаем

За счет внешних источников объем получает количество тепла

За промежуток времени температура среды в объёме изменилась на величину

Для этого необходимо затратить количество тепла

Здесь – плотность материала, – коэффициент удельной теплоемкости, численно равный количеству тепла, которое нужно сообщить 1 грамму вещества, чтобы поднять его температуру на 1°С. Согласно закону сохранения энергии, имеем

или

В силу произвольности в выборе объема последнее равенство справедливо только при равенстве нулю подынтегральной функции, то есть при

или при

Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности, оно совпадает с уравнением (2.3) при и . В случае однородной среды, когда , и

получаем уравнение с постоянными коэффициентами

где – коэффициент температуропроводности, – плотность источников тепла.

§ 2.3. Стационарное уравнение

Стационарный процесс – это процесс, состояние которого не зависит от времени. Это означает, что ни решение, ни свободное слагаемое не зависят от времени, то есть и . В этом случае

и уравнения (3.1) и (3.3) принимают вид

. (3.4)

Уравнение (3.4) называется стационарным. Если коэффициенты уравнения и , то в этом случае получаем следующее уравнение:

где , которое называется уравнением Пуассона. В частном случае при получаем уравнение Лапласа:

Стационарное уравнение является уравнением эллиптического типа. Рассмотрим случай, когда к эллиптическому уравнению можно свести и волновое уравнение. Если внешнее воздействие задается гармонической функцией, то есть

где – амплитуда, – частота функции , то и решение уравнения, вызванное этим воздействием, будет иметь аналогичный вид

Здесь – неизвестная амплитуда. Подставим и в волновое уравнение

□_a,

тогда получим

или после упрощения

, (3.5)

где . Полученное уравнение называется уравнением Гельмгольца. Оно описывает процессы рассеяния (дифракции) звука или света.

§ 3.4. Уравнения гидродинамики

Уравнения гидродинамики выражают основные законы сохранения для процессов, протекающих в сплошной среде. Состояние такой среды в точке в момент времени описывается следующими параметрами: – вектор

скорости движения среды; – плотность среды и – давление в среде. Указанные гидродинамические параметры связаны между собой следующей системой уравнений:

которая называется системой уравнений идеальной жидкости, то есть жидкости, в которой отсутствует вязкость (трение). Такую жидкость называют также «сухой». Для замыкания системы надо задать уравнение состояния, связывающее различные гидродинамические параметры, например,

или

где , – теплоёмкость при постоянном давлении, – теплоёмкость при постоянном объёме. При некоторых дополнительных условиях из системы уравнений идеальной жидкости получается волновое уравнение, описывающее процесс распространения звуковых волн.

§ 3.5. Уравнение Максвелла

Напряженность электрического поля и напряженность магнитного поля в вакууме описываются системой уравнений Максвелла вида

(3.6)

(3.7)

(3.8)

где м/сек – скорость света в пустоте. Найдём операцию от обеих частей уравнения (3.6)

. (3.9)

С учетом формулы векторного анализа

и уравнения (3.8) выражение (3.9) принимает вид

. (3.10)

Если теперь подставить (3.7) в уравнение (3.10), то получим

волновое уравнение для напряжённости электрического поля

Аналогично можно получить волновое уравнение и для напряжённости магнитного поля

В заключение отметим, что полученные уравнения справедливы

не только для вакуума, но и для области, не содержащей электрических зарядов.

§ 3.6. Уравнение Шредингера

Обозначим через потенциал силового поля, в котором движется квантовая частица массы _.Вероятность того, что эта частица в момент времени будет находиться в некоторой окрестности точки , равна , где – объем окрестности , а – волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера:

Здесь – постоянная Планка. Если энергия частицы постоянна, то такое состояние частицы называют стационарным. В этом случае

где – волновая функция, удовлетворяющая стационарному уравнению Шредингера:

Для свободной частицы () получаем уравнение Гельмгольца:

где .

П р и м е р 3.1. Выведите уравнение малых поперечных колебаний струны в среде с сопротивлением.

Р е ш е н и е. В §3.1 было получено уравнение малых поперечных колебаний струны в однородной среде без сопротивления. При наличии сопротивления помимо сил, рассмотренных в §3.1, на элемент струны действуют ещё сила, пропорциональная скорости движения – (сила

трения) и сила, пропорциональная величине отклонения – (упругая сила). Суммируя все силы, действующие на элемент струны длиною , получаем

Переходя в последнем равенстве к пределу при , получаем уравнение малых поперечных колебаний струны в среде с сопротивлением

. (3.11)

При , , , ,что означает однородность среды, будем иметь уравнение с постоянными коэффициентами

, (3.12)

где , , , . Уравнение (2.12) называется телеграфным уравнением.

§3.7. Задачи

3.7.1. Выведите уравнение малых крутильных колебаний однородного стержня цилиндрической формы. Под крутильными колебаниями стержня понимаются такие колебания, при которых поперечные сечения стержня поворачиваются относительно друг друга, вращаясь вокруг оси стержня.

3.7.2. Выведите уравнение малых поперечных колебаний однородного стержня прямоугольного сечения, один конец которого жёстко закреплён, а другой − свободен.